这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否 定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。 假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理 系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻 辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也 就间接证得“第五公设不可证”。
依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平 面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“ 过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题 和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古 怪的命题，但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何罗辑矛盾。于是， 远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理 系统可构成一种新的几何，它的罗辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。 而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设 不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切夫斯 基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。
在冷漠中宣告新几何诞生
1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的 第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首 创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就 遭到正统数学家的冷漠和反对。
参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中著名的数学家、天文 学家西蒙诺夫（A.M.CИMOHOB），有后来成为科学院院士的古普费尔（A.R.KYI- Iφep）以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼（H.Д.Бp-aшMah）。在这些人的心 目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。可是，出乎他们的意料，这位 年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角 形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的 垂线可以和另一边不相交，等等。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突 ，而且还与人们的日常经验相背离。然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它 们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得向何有着同等的存在权利。这些古怪的 语言，竟然出自一个头脑清楚、治学严谨的数家教授之口，不能不使与会者们感到 意外。他们先是表现现一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。
宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也 不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些 最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理 解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的 事情。
会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组， 对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写 出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。
权威的讥讽与匿名者的攻击
罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉 大海，不知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气，而是顽强地继续独自探索新几 何的奥秘。1829年，他又撰写出一篇题为《几何学原理》的论文。这篇论文重现了 第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。此时，罗巴切夫斯基已被推选为喀 山大学校长，可能出自对校长的“尊敬”，《喀山大学通报》全文发表了这篇论文。