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第一章 几何学史上的哥白尼
——罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程
1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像。这位数学家就是俄国 的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792- 1856）。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带 来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变 革都产生了深远的影响。可是，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长 的段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击， 使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。
失败的启迪
罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现 之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一。它是由古希腊学者 最先提出来的。公元前3世纪，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得（Euclid， 约公元前330年-前275）集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深 远影响的数学巨著《几何原本》。这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科 学理论体系的最早典范。在这部著作中，欧几里得为推演出几何学的所有命题，一 开头就给出了五个公理（适用于所有科学）和五个公设（只应用于几何学），作为 逻辑推演的前提。《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是 很满意，唯独对第五个公设（即平行公理）提出了质疑。
第五公设是论及平行线的，它说的是：如果一直线和两直线相交，所构成的两 个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的侧相 交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句还是在内容上都 不大像是个公设，而倒像是个可证的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明， 才不得不把它放在公设之列。
为给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到 19世纪初，数学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但 都遭到了失败。罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始，他也是循 着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就 记有他在1816--1817学年度向何教学中给出的几个证明。可是，很快他便意识到自 己的证明是错误的。前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反 提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公 设不可证的解答，这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切 夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程上发现一个新的几何世界 的。
那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几 何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法--反证 法。