第四章 从数学家到精神病患者
——集合论的创立与康托尔的遭遇
19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔（G.Cantor， 1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是 如此与常识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波。
无穷世界的“探险家”
集合论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔是 凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界的。他发现了许多简直难以置信的事情。
康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的。自从 17世纪牛顿（I.Newton，1642－1727）和莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716） 创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的 逻辑基础。它的一些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开 始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815 －1897）等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论，并把极限理 论的基础归结为实数理论。那么，实数理论的基础又该是什么呢？康托尔试图用集 合论来作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。
出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量 关系。他发现，无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如，在无穷集合领 域，所有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有理数和所有整数之间是一一对应 的，平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的，……概言之，在无穷的世界 里，整体的所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的。另外，无穷集合并 不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的。因而，无穷集 合是有大小的。集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。那么，有没 有一个最大的集合呢？康托尔通过研究，否定了这个想法。因为每个已知集合的所 有子集所构成集合，其基数都大于已知集合的基数。既然没有最大的基数，当然也 没有最大的集合。无穷世界里的这些性质，初看起来，真是令人头晕目眩。甚至康 托尔本人在创立集合论的过程上，也时时感到心神不定。他在获得线性连续统和π 维连续统之间有一一对应关系的结果后，写信给数学家戴德金（R.Dedekind，1831 －1916）说：“我见到了，但我不相信”。然而，集合论的成果毕竟是有严格逻辑 根据的。并且它在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了别的理论无法取代的重要作 用。实践使康托尔坚定了信心，更加勇敢地前进，大胆挖掘无穷世界里的宝藏。他 在提出超限基数和超限序数的过程中说：“我确实不知道，什么能够限制我们这种 形成新数的活动，只要可以说明，为了科学的发展，引入一个这种无穷的新数对于 研究是需要的或者是不可少的”。
从数学家到精神病患者
康托尔的研究成果发表之后，马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。 德国数学家克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891）是这些人中言辞最激烈、攻击 时间最长的一个。
克隆尼克比康托尔年长22岁。当康托尔还是柏林大学的学生时，克隆尼克已经 是在这个学校任教的著名数学家了。克隆尼克在数学上，特别是在高等代数方面有 很多贡献。然而他一有个坏毛病，就是习惯于用刻薄的语言无情地攻击所有和他意 见不一致的数学家。他主张，除非一种数学对象能够用有限步骤从自然数中构造出 来，否则不能认为它在数学上是存在的。他有一句“名言”：“上帝创造了自然数， 其余的一切才是人做的工作”。因此，他否认无理数的存在，也否认极限理论的意 义。他常常讥笑魏尔斯特拉斯的工作：“有趣，可惜不是数学”。他和数学家林德 曼谈话时说：“你那个关于π的漂亮研究有什么用呢？无理数根本就不存在，你为 什么要研究这种问题？虽然康托尔是他的学生，但由于集合论的内容同他的主张大 相径庭，所以克隆尼克简直到了不能容忍的程度。他认为，康托尔关于超限数的研 究，是一种非常危险的数学疯病。因而他各种用得上提尖刻语言，粗暴地、连续不 断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔，这在 许多数学家看来是很过分的事情。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金很微薄，几次 想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。但由于克隆尼克横加阻挠，使 得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。克隆尼克的影响 还使康托尔的学术论文一再延误发表日期。总之，克隆尼克的专横无理令人震惊， 他的激烈攻击使康托尔的精神状态受到极大损害。