这个青年人的数学思想已经远远超越了挪威国界，他需要与有同等智力的人交 流思想和经验。由于阿贝尔的教授们和朋友们强烈地意识到了这一点，他们决定说 服学校当局向政府申请一笔公费，以便他能作一次到欧洲大陆的数学旅行。经过例 行的繁文缛节的手续和耽搁延宕后，阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历 时两年的大陆之行。
踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，把它作为自己晋谒 大陆大数学家们，特别是高斯，的科学护照。他相信高斯将能认识他工作的价值而 超出常规地接见。但看来高斯并未重视这篇论文，因为人们在高斯死后的遗物中发 现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。
柏林是阿贝尔旅行的第一站。他在那里滞留了将近一年时间。虽然等候高斯召 见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期。在柏林，阿 贝尔遇到并熟识了他的第二个伯乐——克雷勒（Crelle）。克雷勒是一个铁路工程 师，一个热心数学的业余爱好者，他以自己所创办的世界上最早专门发表创造性数 学研究论文的斯刊《纯粹和应用数学杂志》而在数学史上占有一席之地，后来人平 习惯称这本期刊为“克雷勒杂志”。与该刊的名称所标榜的宗旨不同，实际上它上 面根本没有应用教学的论文，所以有人又戏称它为“纯粹非应用数学杂志”。阿贝 尔是促成克雷勒将办刊拟议付诸实施的一个人。初次见面，两个人就彼此留下了良 好而深刻的印象。阿贝尔说他拜读过克雷勒的所有数学论文，并且说他发现在这些 论文中有一些错误。克雷勒的非常谦虚，他已经意识到眼前这位脸带稚气的年轻人 具有非凡的数学天才。他翻阅了阿贝尔赠送的论五次方程的小册子，坦率地承认看 不懂。但此时他已决定立即实行拟议中的办刊计划，并将阿贝尔的论文载入第一期。 于是阿贝尔的研究论文，克雷勒杂志才能逐渐提高声誉和扩大影响。
阿贝尔一生最重要的工作——关于椭圆函数理论的广泛研究就完成在这一时期。 相反，过去横遭冷遇，历经艰难，长期得不到公正评价的，也就是这一工作。现在 公认，在被称为“函数论世纪”的19世纪的前半叶，阿贝尔的工作[后来还有雅可比 （K.G.Jacobi，1804－1851）发展了这一理论]，是函数论的两个最高成果之一。
椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多 问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分 往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方 面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A.M.Legen-dre，1752－ 1833）。他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织 了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山 重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色， 开拓了“柳暗花明”的前途。
关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式 上式左边那个不 定积分的反函数就是三角函数。不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式 的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形 式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么 对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容 易得多吗？
“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索 40年，却从来没有想到过它。科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富 有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是 对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞 察力，这大概就是人们所说的天才吧。“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题 材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了 椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆 函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓 广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一 步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键 性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至 于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由黎曼（B.Riemann，1826－ 1866）首先提出并加以深入研究的。事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个 人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说， 阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。
阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一 般性质》。此时他已经把高斯置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托 在法国的数学家身上。他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后，便启程前往巴黎。 在这世界最繁华的大都会里，荟萃着像柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒让 得、拉普拉斯（P.S.LapLace，1749－1827）、傅立叶（I.Fourier，1768－ 1830）、泊松（S.D.Poisson，1781－1840）这样一些久负盛名的数字巨擘，阿 贝尔相信他将在那里找到知音。
1826年7月，阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬 彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作。在这些社会 名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多 少份量呢？阿贝尔在写给霍姆伯谈巴黎观感的信中说道：“法国人对陌生的来访者 比德国人要世故得多。你想和他们亲密无间简直是难上加难，老实说我现在也根本 不奢望能有些荣耀。到头来，任何一个开拓者要想在此间引起重视，都得遇到巨大 的障碍。尽管阿贝尔非常自信，但对这一工作能否得到合理评价已经深有疑虑了。 他通过正常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后 委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起 来了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式 发表，则迁延了12年之久。